Рассматривается случайный конфигурационный граф с N вершинами, степени которых независимы и одинаково распределены по степенному закону с пара- метром τ = τ(N). Свойства этого графа зависят от значенмя параметра τ. Эти значения можно разбить на три области: τ > 2, τ ∈ (1,2), τ < 1, в каждой из которых структура графа сходна при всех значениях τ, но резко отличает- ся от структуры в двух других областях. Это значит, что значения τ = 2 и τ = 1 являются критическими точками. Важнейшей характеристикой графа является число ребер. Его предельные распределения при N →∞ и фиксиро- ванных τ также различны в указанных трех областях. Поэтому актуальным является исследование поведения числа ребер в переходных ситуациях при τ, изменяющихся в окрестностях критических точек. В статье найдены локаль- ные предельные распределения числа ребер графа при τ → 2,τ → 1, а также при τ →∞.